문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 힐베르트 공간 (문단 편집) ==== 사영의 연산 ==== 힐베르트 공간의 두 사영 [math(P, Q)]에 대하여 [math(P+Q)]가 사영일 필요충분조건은 [math(\operatorname{ran}P\perp \operatorname{ran} Q)]이다. 이 때, {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(\begin{aligned}\operatorname{ran}(P+Q)&=\operatorname{ran}P+\operatorname{ran}Q,\\ \ker(P+Q)&=\ker P \cap \ker Q\end{aligned})] }}}가 성립한다. ||'''증명''' [math((\Rightarrow))] [math(P, Q, P+Q)]는 사영이므로 멱등 작용소로, [math((P+Q)^2=P^2+PQ+QP+Q^2=P+Q)]에서 [math(PQ+QP=0)]을 얻는다. 따라서 임의의 [math(x\in H)]에 대하여 {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(\begin{aligned} &\|(P+Q)x\|^2-\|Qx\|^2\\ &=\|Px\|^2+\left+\left\\ &=\|Px\|^2+\left\\ &=\|Px\|^2 \end{aligned})] }}}이다. 즉, [math(\|Px+Qx\|^2=\|Px\|^2+\|Qx\|^2)]이다. 임의의 [math(x\in \operatorname{ran}P(x\ne0))]에 대하여 [math(Px=x)]이므로 {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(\|x+Qx\|^2=\|x\|^2+\|Qx\|^2)] }}}를 얻고, 따라서 [math(\operatorname{Re}\left=0)]이다. [math(Q)]는 사영이므로 [math(\left\ge0)]이고 따라서 [math(x\in \ker Q)]이다. [math(\ker Q \perp \operatorname{ran} Q)]이므로 [math(\operatorname{ran}P\perp\operatorname{ran}Q)]이다. [math((\Leftarrow))] [math(\operatorname{ran}P\perp\operatorname{ran}Q)]이므로 [math(PQ=QP=0)]이다. 따라서 [math((P+Q)^2=P^2+PQ+QP+Q^2=P+Q)]로 [math(P+Q)]는 멱등 작용소이다. 또한 [math((P+Q)^*=P^*+Q^*=P+Q)]이므로 [math(P+Q)]는 사영이다. 임의의 {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(x=(P+Q)(u)\in\operatorname{ran}(P+Q)\quad(u\in H) )] }}}에 대하여 [math(x=(P+Q)(u)=Pu+Qu\in\operatorname{ran}P+\operatorname{ran}Q)]이다. 반대로 [math(0)]이 아닌 임의의 {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(x=Pu+Qv\in\operatorname{ran}P+\operatorname{ran}Q\quad(u,v\in H))] }}}라 하면 [math(\operatorname{ran}P\perp \operatorname{ran} Q)]이므로 {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math((P+Q)x=Pu+PQv+QPu+Qv=Pu+Qv=x)] }}}이다. 즉, [math(x\in \operatorname{ran}(P+Q))]이다. [math(x\in\ker(P+Q))]에 대하여 [math((P+Q)x=0)]이므로 [math(Px=-Qx)]이다. [math(\operatorname{ran}P\perp \operatorname{ran} Q)]이므로 {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(P^2x=Px=-PQx=0\\ Q^2x=Qx=-QPx=0)]}}}이다. 즉, [math(x\in \ker P \cap\ker Q)]이다. 반대로 [math(x\in \ker P \cap\ker Q)]이면 [math((P+Q)x=Px+Qx=0)]이므로 [math(x\in\ker(P+Q))]이다. || 또한 [math(PQ)]가 사영일 필요충분조건은 다음과 같다. * [math(PQ=QP)] * [math(P+Q-PQ)]가 사영이다. 이 때, {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(\begin{aligned}\operatorname{ran}(P+Q-PQ)&=\operatorname{ran}P+\operatorname{ran}Q,\\ \ker(P+Q-PQ)&=\ker P \cap \ker Q\end{aligned})] }}}가 성립한다. ||'''증명''' [math(PQ)]는 사영이므로 에르미트 작용소로 [math(PQ=QP)]가 성립한다. 반대로 [math(PQ=QP)]이면 [math((PQ)^2=PQPQ=P^2Q^2=PQ)]로 [math(PQ)]는 멱등 작용소이고, [math(PQ)]는 에르미트 작용소이므로 [math(PQ)]는 사영이다. ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기